방향도함수 예제

위와 같은 기하급수 절차에 따라, 우리는 기하 급수적 방향 유도체인 위치 기준으로 회전 연산자에 도착합니다:[12] 그라데이션의 정의로 방향 미분은 이제 주어진다고 말할 수 있습니다. 회전 연산자에는 방향 유도체도 포함되어 있습니다. 각도 θ의 회전 연산자( 예: 양 θ=|θ| θ에 평행한 축에 대해 ^ {디스플레이 스타일 scriptstyle {hat {theta }}} =θ/θ는 여기 θθ}={디스플레이 스타일 mathbf {epsilon } cdot nabla} 무한 변위 θ를 따라 방향 미분입니다. 우리는 번역 연산자의 무한한 버전을 발견했습니다 : 하자 F (S) {디스플레이 스타일 mathbf {F} (mathbf {S} 두 번째 순서 텐서 S {디스플레이 스타일 mathbf {S} } 그런 다음 F (S) {표시 스타일 {#디스플레이 스타일 mathbf {S} S {디스플레이 스타일 mathbf {S} } 방향T {디스플레이 스타일 mathbf {T} } 방향에서 4번째 순서 텐서입니다.{{0}}./{.)./{.)로 정의된 네 번째 순서 텐서입니다. ), (a) 및 (b)는 일부 고정 된 숫자입니다. (z)는 고정 된 숫자를 나타내지 않는 유일한 문자이기 때문에 이것은 실제로 단일 변수의 함수입니다. 함수 z=f(x,y)=4x^2+y^2 지점에서 x=1 및 y=1 방향 미분은 무엇입니까? 그라데이션은 이며, 지점 x=1및 y=1의 입니다. u 방향은 입니다. 이를 단위 벡터로 변환하면 /sqrt(5)가 있습니다. 따라서 두 변수 z=f(x,y)의 함수의 경우 그라데이션은 2차원 벡터 <f_x(x,y), f_y(x, y)입니다.

이 정의는 세 개 이상의 변수의 함수에 자연적인 방법으로 일반화합니다. 따라서 방향 미분은 그라데이션과 벡터 u의 점 곱이며, x 방향의 단위 벡터인 경우 u=, 방향 미분은 x에 대한 부분 미분일 뿐입니다. 일반적인 방향에 대해 방향 미분은 세 부분 미분 의 조합입니다. (b) 그라데이션의 크기는 $| 이 최대 방향 유도체입니다. (12,9)| = sqrt{12^2+9^2} = 15$. 따라서 (12,9) 방향의 지점(3,2)에서의 지향성 미분은 15이다. 이것은 제한 정의보다 훨씬 간단합니다. 또한 이 정의는 두 변수의 함수로 작업하고 있다고 가정했습니다. 두 개 이상의 변수가 있는 함수에 대해 동일한 유형의 인수로 파생될 수 있는 유사한 수식이 있습니다. 예를 들어, 단위 벡터 (vec u = vec u = leftlangle {a, b, c} rightrangle )의 방향 성 미분은 방향 u의 여러 변수 함수의 변경 속도를 방향이라고 합니다.

u 방향으로 유도체. 여기서 u는 단위 벡터로 가정된다. w=f(x, y, z)와 you=를 가정하면 방향 미분에 대한 일반 미분 보류의 친숙한 속성이 많이 있습니다. 여기에는 의 이웃에 정의된 모든 함수 f 및 g에 대해 p: (b) $vc{u}=u_1vc{i} + u_2vc{j}$가 단위 벡터가 될 수 있습니다. 방향 미분 (3,2) $vc{u}$ 의 방향 미분은 begin{align} D_{vc{u}}f(3,2) &=nabla f(3,2) cdot vc{u}\하지 않음 ag &= (12 vc{i} + 9 vc{j}) cdot (u_1vc{i} + u_2 vc{j})notag &=12 u_1 + 9 u_2. label{Dub} end{align} 유클리드 공간에 있는 함수의 컨텍스트에서 일부 텍스트는 벡터 v를 단위 벡터로 제한합니다. 이 제한으로 위의 정의는 모두 동일합니다. [6] 직관적으로, 포인트 x에서 f의 방향 미분은 x를 지나갈 때 시간에 대하여 v 방향으로 f의 변화 속도를 나타낸다. $f 경우1의 $f 지점에서 방향 미분(-3,4) 방향(-3,4)($nabla f(3,2)$에 수직임), 그리고 (b) 방향(-4,-3)의 방향 미분은 무엇인가($nabla f의 방향과 반대) 3,2)$? 진행하기 전에 우리가 섹션의 대부분에서 보고 있던 첫 번째 순서 부분 파생 상품은 방향 파생 상품의 특별한 경우로 생각 될 수 있음을 유의하자.

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